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Emmy Noether

Amalie Emmy Noether (em alemão: [ˈnøːtɐ] ; 23 de março de 1882 - 14 de abril de 1935) foi um matemático alemão que fez importantes contribuições para a álgebra abstrata e a física teórica. Ela invariavelmente usou o nome "Emmy Noether" em sua vida e publicações. Ela foi descrita por Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl e Norbert Wiener como a mulher mais importante na história da matemática.Como um dos principais matemáticos de seu tempo, ela desenvolveu as teorias de anéis, campos e álgebras. Na física, o teorema de Noether explica a conexão entre a simetria e as leis de conservação.

Noether nasceu de uma família judia na cidade de Erlangen, na Francônia; seu pai era matemático, Max Noether. Ela originalmente planejava ensinar francês e inglês depois de passar nos exames exigidos, mas estudou matemática na Universidade de Erlangen, onde seu pai lecionou. Depois de concluir sua dissertação em 1907 sob a supervisão de Paul Gordan, ela trabalhou no Instituto de Matemática de Erlangen sem remuneração por sete anos. Na época, as mulheres eram amplamente excluídas das posições acadêmicas. Em 1915, ela foi convidada por David Hilbert e Felix Klein para ingressar no departamento de matemática da Universidade de Göttingen, um renomado centro de pesquisa matemática. A faculdade filosófica se opôs, no entanto, e ela passou quatro anos lecionando sob o nome de Hilbert. Sua habilitação foi aprovada em 1919, permitindo-lhe obter o grau de Privatdozent .

Noether permaneceu como um dos principais membros do departamento de matemática de Göttingen até 1933; seus alunos eram às vezes chamados de "meninos Noether". Em 1924, o matemático holandês BL van der Waerden juntou-se ao seu círculo e logo se tornou o principal expositor das idéias de Noether: Seu trabalho foi a base para o segundo volume de seu influente livro de 1931, Moderne Algebra . Na época de seu discurso plenário no Congresso Internacional de Matemática de 1932, em Zurique, sua perspicácia algébrica foi reconhecida em todo o mundo. No ano seguinte, o governo nazista da Alemanha demitiu judeus de cargos universitários, e Noether mudou-se para os Estados Unidos para ocupar uma posição no Bryn Mawr College, na Pensilvânia.Em 1935, ela passou por uma cirurgia de cisto ovariano e, apesar de sinais de recuperação, morreu quatro dias depois aos 53 anos.

Vida pessoal

Noether cresceu na cidade bávara de Erlangen, retratada aqui em um postal de 1916

Emmy Noether com seus irmãos Alfred, Fritz e Robert, antes de 1918

O pai de Emmy, Max Noether, era descendente de uma família de comerciantes atacadistas na Alemanha. Aos 14 anos, ele havia sido paralisado pela poliomielite. Ele recuperou a mobilidade, mas uma perna permaneceu afetada. Em grande parte autodidata, recebeu o doutorado da Universidade de Heidelberg em 1868. Depois de lecionar lá por sete anos, ele assumiu uma posição na cidade bávara de Erlangen, onde conheceu e se casou com Ida Amalia Kaufmann, filha de um próspero comerciante.

Emmy Noether nasceu em 23 de março de 1882, o primeiro de quatro filhos. Seu primeiro nome era "Amalie", depois de sua mãe e avó paterna, mas ela começou a usar seu nome do meio em uma idade jovem.

Quando menina, Noether era muito querido. Ela não se destacou academicamente, embora fosse conhecida por ser inteligente e amigável. Ela era míope e falava com um ligeiro lapso durante a infância. Um amigo da família contou uma história anos mais tarde sobre o jovem Noether rapidamente resolvendo um quebra-cabeças em uma festa infantil, mostrando uma perspicácia lógica nessa idade precoce. Ela foi ensinada a cozinhar e limpar, como a maioria das meninas da época, e ela teve aulas de piano. Ela não perseguiu nenhuma dessas atividades com paixão, embora gostasse de dançar.

Ela tinha três irmãos mais novos: o mais velho, Alfred, nasceu em 1883, recebeu o doutorado em química de Erlangen em 1909, mas morreu nove anos depois. Fritz Noether, nascido em 1884, é lembrado por suas realizações acadêmicas; depois de estudar em Munique, ele fez uma reputação por si mesmo em matemática aplicada. O mais jovem, Gustav Robert, nasceu em 1889. Muito pouco se sabe sobre sua vida; Ele sofreu de doença crônica e morreu em 1928. Não há registro de Noether nunca se casar ou ter filhos.

formação universitária

Paul Gordan supervisionou a dissertação de doutorado de Noether sobre os invariantes das formas biquadráticas.

Noether demonstrou proficiência precoce em francês e inglês.Na primavera de 1900, ela fez o exame para professores dessas línguas e recebeu uma pontuação geral de sehr gut (muito bom).Sua performance qualificou-a para ensinar idiomas em escolas reservadas para meninas, mas ela optou por continuar seus estudos na Universidade de Erlangen.

Esta foi uma decisão não convencional; dois anos antes, o Senado Acadêmico da universidade havia declarado que permitir educação mista "derrubaria toda a ordem acadêmica". Uma das duas únicas mulheres em uma universidade de 986 alunos, Noether só podia auditar as aulas em vez de participar integralmente e precisava da permissão de professores individuais cujas palestras ela desejava frequentar. Apesar desses obstáculos, em 14 de julho de 1903 ela passou no exame de graduação em um Realgymnasium em Nuremberg.

Durante o semestre de inverno de 1903-1904, ela estudou na Universidade de Göttingen, assistindo a palestras do astrônomo Karl Schwarzschild e dos matemáticos Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein e David Hilbert. Logo depois, as restrições à participação das mulheres naquela universidade foram rescindidas.

Noether retornou a Erlangen. Ela reinseriu oficialmente a universidade em outubro de 1904 e declarou sua intenção de se concentrar exclusivamente na matemática. Sob a supervisão de Paul Gordan ela escreveu sua dissertação, Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form ( Em Sistemas Completos de Invariantes para Formas Biquiátricas Ternárias , 1907). Gordan era um membro da escola "computacional" de pesquisadores invariantes, e a tese de Noether terminou com uma lista de mais de 300 invariantes explicitamente elaborados. Essa abordagem aos invariantes foi mais tarde substituída pela abordagem mais abstrata e geral pioneira de Hilbert. Embora tenha sido bem recebido, Noether mais tarde descreveu sua tese e vários outros artigos similares que ela produziu como "porcaria".

Ensino

Universidade de Erlangen

Nos sete anos seguintes (1908-1915), ela ensinou no Instituto de Matemática da Universidade de Erlangen sem remuneração, ocasionalmente substituindo seu pai quando ele estava muito doente para lecionar. Em 1910 e 1911 ela publicou uma extensão de seu trabalho de tese de três variáveis ​​para n variáveis.

Noether às vezes usava cartões postais para discutir álgebra abstrata com seu colega Ernst Fischer. Este cartão é postado em 10 de abril de 1915.

Gordan se aposentou na primavera de 1910, mas continuou a ensinar ocasionalmente com seu sucessor, Erhard Schmidt, que deixou pouco tempo depois para uma posição em Breslau. Gordan retirou-se do ensino em 1911 quando o sucessor de Schmidt, Ernst Fischer, chegou; Gordan morreu um ano depois, em dezembro de 1912.

De acordo com Hermann Weyl, Fischer foi uma influência importante em Noether, em particular, introduzindo-a ao trabalho de David Hilbert. De 1913 a 1916, Noether publicou vários artigos estendendo e aplicando os métodos de Hilbert a objetos matemáticos, como campos de funções racionais e invariantes de grupos finitos. Esta fase marca o início de seu envolvimento com a álgebra abstrata, o campo da matemática para o qual ela faria contribuições inovadoras.

Noether e Fischer compartilhavam o desfrute animado da matemática e freqüentemente discutiam palestras muito depois de terminarem; Sabe-se que Noether enviou cartões-postais para Fischer dando continuidade a sua série de pensamentos matemáticos.

Universidade de Göttingen

Na primavera de 1915, Noether foi convidado a retornar à Universidade de Göttingen por David Hilbert e Felix Klein. Seu esforço para recrutá-la, no entanto, foi bloqueado pelos filólogos e historiadores entre a faculdade filosófica: as mulheres, eles insistiram, não deveriam se tornar privatdozent . Um membro da faculdade protestou: " O que nossos soldados pensarão quando voltarem à universidade e descobrirem que precisam aprender aos pés de uma mulher? " Hilbert respondeu com indignação, afirmando: " Eu não vejo que o sexo do A candidata é um argumento contra sua admissão como privatdozent . Afinal, somos uma universidade, não uma casa de banho. "

Em 1915, David Hilbert, que convidou Noether para participar do departamento de matemática de Göttingen, contestou as opiniões de alguns de seus colegas de que uma mulher não deveria ser autorizada a lecionar em uma universidade.

Noether partiu para Göttingen no final de abril; duas semanas depois, sua mãe morreu repentinamente em Erlangen. Ela já havia recebido atendimento médico por uma doença ocular, mas sua natureza e impacto em sua morte é desconhecida. Mais ou menos na mesma época, o pai de Noether se aposentou e seu irmão se juntou ao exército alemão para servir na Primeira Guerra Mundial. Ela retornou a Erlangen por várias semanas, principalmente para cuidar de seu pai idoso.

Durante seus primeiros anos ensinando em Göttingen, ela não tinha uma posição oficial e não era remunerada; sua família pagou por seu quarto e pensão e apoiou seu trabalho acadêmico. Suas palestras eram frequentemente anunciadas sob o nome de Hilbert, e Noether forneceria "assistência".

Logo depois de chegar a Göttingen, no entanto, ela demonstrou suas capacidades ao provar o teorema hoje conhecido como teorema de Noether, que mostra que uma lei de conservação está associada a qualquer simetria diferenciável de um sistema físico. Os físicos norte-americanos Leon M. Lederman e Christopher T. Hill argumentam em seu livro Symmetry and the Beautiful Universe que o teorema de Noether é "certamente um dos teoremas matemáticos mais importantes já provados em guiar o desenvolvimento da física moderna, possivelmente em paridade com o pitagórico teorema".

O departamento de matemática da Universidade de Göttingen permitiu a habilitação de Noether em 1919, quatro anos depois de ter começado a dar aulas na escola.

Quando a Primeira Guerra Mundial terminou, a Revolução Alemã de 1918-1919 trouxe uma mudança significativa nas atitudes sociais, incluindo mais direitos para as mulheres. Em 1919, a Universidade de Göttingen permitiu que Noether prosseguisse com sua habilitação (elegibilidade para posse). Seu exame oral foi realizado no final de maio e ela realizou com sucesso sua palestra de habilitação em junho de 1919.

Três anos depois, recebeu uma carta de Otto Boelitz, Ministro da Ciência, Arte e Educação Pública da Prússia, na qual conferiu-lhe o título de nicht beamteter ausserordentlicher Professor (professor não titular com direitos e funções administrativas internas limitadas). Essa era uma cátedra "extraordinária" e não remunerada, não uma cátedra "ordinária" superior, que era uma posição de serviço civil. Embora reconhecesse a importância de seu trabalho, a posição ainda não fornecia salário. Noether não foi paga por suas palestras até que foi indicada para a posição especial de Lehrbeauftragte für Algebraum ano depois.

Trabalhar em álgebra abstrata

Embora o teorema de Noether tenha tido um efeito significativo sobre a mecânica clássica e quântica, entre os matemáticos ela é mais lembrada por suas contribuições à álgebra abstrata. Em sua introdução aos Collected Papers de Noether, Nathan Jacobson escreveu que

O desenvolvimento da álgebra abstrata, que é uma das inovações mais distintivas da matemática do século XX, é em grande parte devido a ela - em artigos publicados, em palestras e na influência pessoal sobre seus contemporâneos.

Às vezes, ela permitia que seus colegas e alunos recebessem crédito por suas ideias, ajudando-as a desenvolver suas carreiras à custa das suas próprias.

O trabalho de Noether em álgebra começou em 1920. Em colaboração com W. Schmeidler, ela publicou um artigo sobre a teoria dos ideais em que definiam ideais de esquerda e direita em um anel.

Em 1924, um jovem matemático holandês, BL van der Waerden, chegou à Universidade de Göttingen. Ele imediatamente começou a trabalhar com Noether, que forneceu métodos inestimáveis ​​de conceituação abstrata. Van der Waerden disse mais tarde que sua originalidade era "absoluta além da comparação". Em 1931 ele publicou Moderne Algebra , um texto central no campo;seu segundo volume emprestou pesadamente do trabalho de Noether. Embora Noether não tenha buscado reconhecimento, ele incluiu como uma nota na sétima edição "baseada em parte em palestras de E. Artin e E. Noether".

A visita de Van der Waerden foi parte de uma convergência de matemáticos de todo o mundo para Göttingen, que se tornou um importante centro de pesquisa matemática e física. De 1926 a 1930, o topólogo russo Pavel Alexandrov lecionou na universidade, e ele e Noether logo se tornaram bons amigos. Ele começou a se referir a ela como der Noether , usando o artigo masculino alemão como um termo carinhoso para demonstrar seu respeito. Ela tentou conseguir que ele conseguisse uma posição em Göttingen como professor regular, mas só conseguiu ajudá-lo a obter uma bolsa de estudos da Fundação Rockefeller. Eles se reuniam regularmente e gostavam de discussões sobre as interseções de álgebra e topologia. Em seu discurso de 1935, Alexandrov nomeou Emmy Noether como "a maior mulher matemática de todos os tempos".

Alunos de pós-graduação e palestras influentes

Além de sua percepção matemática, Noether era respeitada por sua consideração pelos outros.Embora ela às vezes agisse rudemente com aqueles que discordavam dela, ela ganhou reputação por sua constante ajuda e orientação paciente de novos alunos. Sua lealdade à precisão matemática levou um colega a chamá-la de "crítica severa", mas combinou essa exigência de precisão com uma atitude carinhosa. Um colega mais tarde a descreveu assim:

Completamente desinibida e livre de vaidade, ela nunca reivindicou nada para si mesma, mas promoveu as obras de seus alunos acima de tudo.

Gotinga

Noether c. 1930

Em Göttingen, Noether supervisionou mais de uma dúzia de estudantes de doutorado; seu primeiro foi Grete Hermann, que defendeu sua dissertação em fevereiro de 1925. Mais tarde, ela falou reverentemente de sua "mãe dissertação". Noether também supervisionou Max Deuring, que se destacou como aluno de graduação e passou a contribuir significativamente para o campo da geometria aritmética; Hans Fitting, lembrado pelo teorema de Fitting e pelo lema Fitting; e Zeng Jiongzhi (também conhecido como "Chiungtze C. Tsen" em inglês), que provou o teorema de Tsen. Ela também trabalhou de perto com Wolfgang Krull, que avançou muito com a álgebra comutativa com seu Hauptidealatze sua teoria da dimensão para anéis comutativos.

Seu estilo de vida frugal no início foi devido a ser negado pagar por seu trabalho; no entanto, mesmo depois que a universidade começou a pagar-lhe um pequeno salário em 1923, ela continuou a viver uma vida simples e modesta. Ela foi paga mais generosamente mais tarde em sua vida, mas economizou metade de seu salário para legar a seu sobrinho, Gottfried E. Noether.

Principalmente despreocupada com a aparência e as maneiras, os biógrafos sugerem que ela se concentrou em seus estudos. Uma ilustre algébrica, Olga Taussky-Todd, descreveu um almoço durante o qual Noether, totalmente envolvida em uma discussão sobre matemática, "gesticulou loucamente" enquanto comia e "derramava sua comida constantemente e a limpava de seu vestido, completamente imperturbável". Estudantes preocupados com a aparência se encolheram quando ela retirou o lenço de sua blusa e ignorou a crescente desordem de seu cabelo durante uma palestra. Duas alunas uma vez se aproximaram dela durante um intervalo em uma aula de duas horas para expressar sua preocupação, mas não conseguiram romper a enérgica discussão sobre matemática que estavam tendo com outros alunos.

De acordo com o obituário de van der Waerden, Emmy Noether, ela não seguiu um plano de aula para suas palestras, o que frustrou alguns alunos. Em vez disso, ela usou suas palestras como um tempo de discussão espontânea com seus alunos, para pensar e esclarecer problemas importantes em matemática. Alguns de seus resultados mais importantes foram desenvolvidos nessas palestras, e as anotações das palestras de seus alunos formaram a base de vários livros importantes, como os de van der Waerden e Deuring.

Vários de seus colegas participaram de suas palestras, e ela permitiu que algumas de suas idéias, como o produto cruzado ( verschränktes Produkt em alemão) de álgebras associativas, fossem publicadas por outros. Noether foi registrado como tendo dado pelo menos cinco cursos de um semestre em Göttingen:

• Inverno 1924/1925: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen [ Teoria dos Grupos e Números Hipercomplexos ]
• Inverno 1927/1928: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie [ QuantidadesHiperComplexas e Teoria das Representações ]
• Verão de 1928: Álgebra de Nichtkommutative [ Álgebra não comutativa ]
• Verão de 1929: Aritmética não-comutativa [ Aritmética não comutativa ]
• Inverno 1929/30: Algebra der hyperkomplexen Grössen [ Álgebra de QuantidadesHiperComplexas ]

Esses cursos freqüentemente precedem publicações importantes sobre os mesmos assuntos.

Noether falou rapidamente - refletindo a velocidade de seus pensamentos, muitos disseram - e exigiu grande concentração de seus alunos. Alunos que não gostavam de seu estilo muitas vezes se sentiam alienados. Alguns alunos sentiram que ela confiava demais em discussões espontâneas.Seus alunos mais dedicados, no entanto, apreciavam o entusiasmo com que ela se aproximava da matemática, especialmente porque suas palestras muitas vezes baseavam-se em trabalhos anteriores que haviam feito juntos.

Ela desenvolveu um círculo próximo de colegas e estudantes que pensavam em linhas semelhantes e tendiam a excluir aqueles que não o faziam. "Outsiders" que ocasionalmente visitavam as palestras de Noether geralmente passavam apenas 30 minutos na sala antes de sair em frustração ou confusão. Um estudante regular disse sobre um desses casos: "O inimigo foi derrotado; ele esvaziou".

Noether mostrou uma devoção ao assunto e aos alunos que se estendiam além do dia acadêmico.Certa vez, quando o prédio foi fechado para um feriado do Estado, ela reuniu a turma nos degraus do lado de fora, conduziu-os pela floresta e deu aulas em uma cafeteria local. Mais tarde, depois de ter sido dispensada pelo Terceiro Reich, ela convidou os alunos a entrar em casa para discutir seus planos para o futuro e conceitos matemáticos.

Moscou

Pavel Alexandrov

No inverno de 1928-1929, Noether aceitou um convite para a Universidade Estadual de Moscou, onde continuou trabalhando com PS Alexandrov. Além de continuar com sua pesquisa, ela ministrou aulas de álgebra abstrata e geometria algébrica. Ela trabalhou com os topologistas, Lev Pontryagin e Nikolai Chebotaryov, que mais tarde elogiaram suas contribuições para o desenvolvimento da teoria de Galois.

Noether lecionou na Universidade Estadual de Moscou durante o inverno de 1928-1929.

Embora a política não fosse fundamental para sua vida, Noether se interessou muito por questões políticas e, segundo Alexandrov, mostrou considerável apoio à Revolução Russa. Ela ficou especialmente feliz em ver os avanços soviéticos nos campos da ciência e da matemática, que ela considerou indicativos de novas oportunidades tornadas possíveis pelo projeto bolchevique. Essa atitude causou seus problemas na Alemanha, culminando em sua expulsão de um prédio de pensão, depois que líderes estudantis reclamaram de viver com "uma judia de tendência marxista".

Noether planejava voltar a Moscou, um esforço pelo qual ela recebeu apoio de Alexandrov. Depois que ela deixou a Alemanha em 1933, ele tentou ajudá-la a ganhar uma cadeira na Universidade Estatal de Moscou através do Ministério da Educação soviético. Embora esse esforço não tenha sido bem-sucedido, eles corresponderam com frequência durante a década de 1930 e, em 1935, ela planejou um retorno à União Soviética.Enquanto isso, seu irmão Fritz aceitou uma posição no Instituto de Pesquisa de Matemática e Mecânica em Tomsk, no Distrito Federal da Sibéria da Rússia, depois de perder o emprego na Alemanha, e foi posteriormente executado durante a Grande Purgação.

Reconhecimento

Em 1932 Emmy Noether e Emil Artin receberam o Prêmio Memorial Ackermann-Teubner por suas contribuições para a matemática. O prêmio trazia uma recompensa monetária de 500 Reichsmarks e era visto como um reconhecimento oficial há muito esperado de seu trabalho considerável no campo. No entanto, seus colegas expressaram frustração com o fato de que ela não foi eleita para a Göttingen Gesellschaft der Wissenschaften (academia de ciências) e nunca foi promovida para o cargo de Professora Professora (professora titular).

Noether visitou Zurique em 1932 para proferir um discurso plenário no Congresso Internacional de Matemáticos.

Os colegas de Noether comemoraram seu quinquagésimo aniversário em 1932, no estilo típico dos matemáticos. Helmut Hasse dedicou um artigo a ela no Mathematische Annalen , no qual ele confirmou sua suspeita de que alguns aspectos da álgebra não comutativa são mais simples que os da álgebra comutativa, provando uma lei de reciprocidade não-comutativa.Isso a agradou imensamente. Ele também enviou a ela um enigma matemático, que ele chamou de "m-v de sílabas". Ela resolveu imediatamente, mas o enigma foi perdido.

Em novembro do mesmo ano, Noether proferiu um discurso plenário ( Großer Vortrag ) sobre "Sistemas hipercomplexo em suas relações com a álgebra comutativa e a teoria dos números" no Congresso Internacional de Matemáticos de Zurique. O congresso contou com 800 pessoas, incluindo os colegas de Noether, Hermann Weyl, Edmund Landau e Wolfgang Krull. Foram 420 participantes oficiais e vinte e um endereços plenários apresentados. Aparentemente, a posição de destaque de Noether era um reconhecimento da importância de suas contribuições para a matemática. O congresso de 1932 é algumas vezes descrito como o ponto alto de sua carreira.

Expulsão de Göttingen pelo Terceiro Reich

Quando Adolf Hitler se tornou o Reichskanzler alemão em janeiro de 1933, a atividade nazista em todo o país aumentou dramaticamente. Na Universidade de Göttingen, a Associação Alemã de Estudantes liderou o ataque ao "espírito não-alemão" atribuído aos judeus e foi auxiliado por um privatdozent chamado Werner Weber, um ex-aluno de Noether. Atitudes anti-semitas criaram um clima hostil aos professores judeus. Um jovem manifestante exigiu: "Os estudantes arianos querem matemática ariana e não matemática judaica ".

Uma das primeiras ações da administração de Hitler foi a Lei para a Restauração do Serviço Civil Profissional, que removeu judeus e suspeitos políticos de funcionários do governo (incluindo professores universitários) de seus empregos, a menos que eles tivessem "demonstrado sua lealdade à Alemanha" servindo na Guerra Mundial. I. Em abril de 1933, Noether recebeu um aviso do Ministério Prussiano de Ciências, Arte e Educação Pública, que dizia: " Com base no parágrafo 3 do Código do Serviço Civil de 7 de abril de 1933, eu retiro o direito de ensinar na Universidade de Göttingen ". Vários colegas de Noether, incluindo Max Born e Richard Courant, também tiveram seus cargos revogados.

Noether aceitou a decisão com calma, dando apoio a outras pessoas durante esse período difícil.Hermann Weyl escreveu mais tarde que "Emmy Noether - sua coragem, sua franqueza, sua despreocupação com seu próprio destino, seu espírito conciliador - estavam no meio de todo o ódio e maldade, desespero e tristeza que nos cercava, um consolo moral". Normalmente, Noether permaneceu focada em matemática, reunindo estudantes em seu apartamento para discutir a teoria de campo da turma. Quando um de seus alunos apareceu no uniforme da organização paramilitar nazista Sturmabteilung (SA), ela não demonstrou nenhum sinal de agitação e, supostamente, até mesmo riu sobre isso depois. Isso, no entanto, foi antes dos sangrentos eventos da Kristallnacht em 1938, e seus elogios ao ministro da Propaganda, Joseph Goebbels.

Refúgio em Bryn Mawr e Princeton, na América

O Bryn Mawr College forneceu um lar acolhedor para Noether durante os últimos dois anos de sua vida.

Quando dezenas de professores recém-desempregados começaram a procurar posições fora da Alemanha, seus colegas nos Estados Unidos procuravam oferecer assistência e oportunidades de trabalho para eles. Albert Einstein e Hermann Weyl foram nomeados pelo Instituto de Estudos Avançados em Princeton, enquanto outros trabalharam para encontrar um patrocinador necessário para a imigração legal. Noether foi contatado por representantes de duas instituições de ensino: Bryn Mawr College, nos Estados Unidos, e Somerville College, na Universidade de Oxford, na Inglaterra. Após uma série de negociações com a Fundação Rockefeller, uma bolsa concedida a Bryn Mawr foi aprovada para Noether e ela assumiu uma posição lá, começando no final de 1933.

Em Bryn Mawr, Noether conheceu e fez amizade com Anna Wheeler, que havia estudado em Göttingen pouco antes de Noether chegar lá. Outra fonte de apoio na faculdade foi a presidente do Bryn Mawr, Marion Edwards Park, que convidou entusiasticamente os matemáticos da área para "ver o Dr. Noether em ação!" Noether e uma pequena equipe de estudantes trabalharam rapidamente no livro de van der Waerden, Moderna Algebra I, de 1930, e em partes de Erich Hecke, Theorie der algebraischen Zahlen ( Teoria dos números algébricos ).

Em 1934, Noether começou a lecionar no Instituto de Estudos Avançados de Princeton, a convite de Abraham Flexner e Oswald Veblen. Ela também trabalhou e supervisionou Abraham Albert e Harry Vandiver. No entanto, ela comentou sobre a Universidade de Princeton que ela não era bem-vinda na "universidade masculina, onde nada de mulher é admitida".

Seu tempo nos Estados Unidos era agradável, cercado por colegas de apoio e absorvido em seus assuntos favoritos. No verão de 1934, ela retornou brevemente à Alemanha para ver Emil Artin e seu irmão Fritz antes de partir para Tomsk. Embora muitos de seus ex-colegas tenham sido expulsos das universidades, ela pôde usar a biblioteca como "estudiosa estrangeira".

Morte

Os restos mortais de Noether foram colocados sob a passagem em torno dos claustros da Biblioteca M. Carey Thomas, de Bryn Mawr.

Em abril de 1935, os médicos descobriram um tumor na pélvis de Noether. Preocupados com as complicações da cirurgia, eles ordenaram dois dias de descanso na cama primeiro. Durante a operação, eles descobriram um cisto ovariano "do tamanho de um grande melão". Dois tumores menores em seu útero pareciam ser benignos e não foram removidos, para evitar o prolongamento da cirurgia. Durante três dias ela pareceu convalescer normalmente, e ela se recuperou rapidamente de um colapso circulatório no quarto. Em 14 de abril, ela ficou inconsciente, sua temperatura subiu para 109 ° F (42,8 ° C) e ela morreu. "Não é fácil dizer o que ocorreu no Dr. Noether", escreveu um dos médicos. "É possível que houvesse alguma forma de infecção incomum e virulenta, que atingiu a base do cérebro onde os centros de calor deveriam estar localizados."

Alguns dias depois da morte de Noether, seus amigos e associados em Bryn Mawr realizaram um pequeno funeral na casa do College President Park.Hermann Weyl e Richard Brauer viajaram de Princeton e conversaram com Wheeler e Taussky sobre seu colega falecido. Nos meses que se seguiram, tributos escritos começaram a aparecer em todo o mundo: Albert Einstein se uniu a van der Waerden, Weyl e Pavel Alexandrov para prestar seus respeitos. Seu corpo foi cremado e as cinzas foram enterradas sob a passarela ao redor dos claustros da Biblioteca M. Carey Thomas, em Bryn Mawr.

Contribuições para matemática e física

O trabalho de Noether em álgebra abstrata e topologia foi influente em matemática, enquanto em física, o teorema de Noether tem consequências para a física teórica e sistemas dinâmicos. Ela mostrou uma propensão aguda para o pensamento abstrato, o que lhe permitiu abordar problemas da matemática de maneiras novas e originais. Seu amigo e colega Hermann Weyl descreveu sua produção acadêmica em três épocas:

A produção científica de Emmy Noether caiu em três épocas claramente distintas:

(1) o período de dependência relativa, 1907-1919

(2) as investigações agrupadas em torno da teoria geral dos ideais 1920-1926

(3) o estudo das álgebras não comutativas, suas representações por transformações lineares, e sua aplicação ao estudo de campos numéricos comutativos e suas aritméticas

- Weyl 1935

Na primeira época (1907-1919), Noether lidou principalmente com invariantes diferenciais e algébricos, começando com sua dissertação sob Paul Gordan. Seus horizontes matemáticos se ampliaram, e seu trabalho tornou-se mais geral e abstrato, à medida que ela se familiarizava com o trabalho de David Hilbert, através de interações estreitas com um sucessor de Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Depois de se mudar para Göttingen em 1915, ela produziu seu trabalho para a física, os dois teoremas de Noether.

Na segunda época (1920-1926), Noether dedicou-se ao desenvolvimento da teoria dos anéis matemáticos.

Na terceira época (1927-1935), Noether concentrou-se na álgebra não comutativa, transformações lineares e campos numéricos comutativos.

Embora os resultados da primeira época de Noether tenham sido impressionantes e úteis, sua fama entre os matemáticos repousa mais no trabalho inovador que ela realizou em sua segunda e terceira épocas, como notaram Hermann Weyl e BL van der Waerden em seus obituários sobre ela.

Nestas épocas, ela não estava apenas aplicando idéias e métodos de matemáticos anteriores; em vez disso, ela estava criando novos sistemas de definições matemáticas que seriam usadas por futuros matemáticos. Em particular, ela desenvolveu uma teoria completamente nova de ideais em anéis, generalizando trabalhos anteriores de Richard Dedekind. Ela também é conhecida por desenvolver condições de cadeia ascendente, uma condição de finitude simples que produz resultados poderosos em suas mãos. Tais condições e a teoria dos ideais permitiram que Noether generalizasse muitos resultados mais antigos e tratasse problemas antigos de uma nova perspectiva, como a teoria da eliminação e as variedades algébricas que haviam sido estudadas por seu pai.

Contexto histórico

No século 1832 a morte de Noether em 1935, o campo da matemática - especificamente álgebra - sofreu uma profunda revolução, cujas reverberações ainda estão sendo sentidas. Os matemáticos dos séculos anteriores tinham trabalhado em métodos práticos para resolver tipos específicos de equações, por exemplo, equações cúbicas, quárticas e quínticas, bem como no problema relacionado da construção de polígonos regulares usando bússola e régua. Começando com a prova de 1832 de Carl Friedrich Gauss de que números primos como cinco podem ser considerados em inteiros gaussianos, a introdução de grupos de permutação de Évariste Galois em 1832 (embora, por causa de sua morte, seus trabalhos tenham sido publicados somente em 1846, por Liouville), William Rowan A descoberta de quatérnios de Hamilton em 1843 e a definição mais moderna de grupos de Arthur Cayley em 1854, a pesquisa se voltou para determinar as propriedades de sistemas cada vez mais abstratos definidos por regras cada vez mais universais. As contribuições mais importantes de Noether para a matemática foram para o desenvolvimento deste novo campo, a álgebra abstrata.

Antecedentes sobre álgebra abstrata e begriffliche Mathematik (matemática conceitual)

Dois dos objetos mais básicos da álgebra abstrata são grupos e anéis.

Um grupo consiste em um conjunto de elementos e uma única operação que combina um primeiro e um segundo elemento e retorna um terceiro. A operação deve satisfazer certas restrições para determinar um grupo: deve ser fechado (quando aplicado a qualquer par de elementos do conjunto associado, o elemento gerado também deve ser um membro desse conjunto), deve ser associativo, deve haver ser um elemento de identidade (um elemento que, quando combinado com outro elemento usando a operação, resulta no elemento original, como adicionar zero a um número ou multiplicá-lo por um), e para cada elemento deve haver um elemento inverso.

Um anel da mesma forma, tem um conjunto de elementos, mas agora tem duas operações. A primeira operação deve tornar o conjunto um grupo e a segunda operação é associativa e distributiva em relação à primeira operação. Pode ou não ser comutativo; isto significa que o resultado da aplicação da operação a um primeiro e um segundo elemento é o mesmo que o segundo e o primeiro - a ordem dos elementos não importa. Se todo elemento diferente de zero tiver um inverso multiplicativo (um elemento x tal que a x = x a = 1), o anel é chamado de anel de divisão . Um campo é definido como um anel de divisão comutativa.

Grupos são freqüentemente estudados através de representações de grupo . Em sua forma mais geral, consistem em uma escolha de grupo, um conjunto e uma ação do grupo no conjunto, isto é, uma operação que toma um elemento do grupo e um elemento do conjunto e retorna um elemento de grupo. o conjunto. Na maioria das vezes, o conjunto é um espaço vetorial e o grupo representa simetrias do espaço vetorial. Por exemplo, existe um grupo que representa as rotações rígidas do espaço. Este é um tipo de simetria de espaço, porque o próprio espaço não muda quando ele é girado, mesmo que as posições dos objetos nele sejam. Noether usou esse tipo de simetria em seu trabalho sobre invariantes em física.

Uma maneira poderosa de estudar anéis é através de seus módulos . Um módulo consiste em uma escolha de anel, outro conjunto, geralmente distinto do conjunto subjacente do anel e chamado de conjunto subjacente do módulo, uma operação em pares de elementos do conjunto subjacente do módulo e uma operação que leva um elemento do anel e um elemento do módulo e retorna um elemento do módulo.

O conjunto subjacente do módulo e sua operação deve formar um grupo. Um módulo é uma versão teórica de anel de uma representação de grupo: Ignorar a operação do segundo anel e a operação nos pares de elementos do módulo determina uma representação de grupo. A utilidade real dos módulos é que os tipos de módulos que existem e suas interações revelam a estrutura do anel de maneiras que não são aparentes no próprio anel. Um caso especial importante disso é uma álgebra .(A palavra álgebra significa tanto um assunto dentro da matemática quanto um objeto estudado no assunto da álgebra.) Uma álgebra consiste em uma escolha de dois anéis e uma operação que pega um elemento de cada anel e retorna um elemento do segundo anel. . Esta operação faz o segundo anel em um módulo sobre o primeiro. Muitas vezes o primeiro anel é um campo.

Palavras como "elemento" e "operação de combinação" são muito gerais e podem ser aplicadas a muitas situações abstratas e do mundo real. Qualquer conjunto de coisas que obedeça a todas as regras para uma (ou duas) operação (ões) é, por definição, um grupo (ou anel) e obedece a todos os teoremas sobre grupos (ou anéis). Números inteiros e as operações de adição e multiplicação são apenas um exemplo. Por exemplo, os elementos podem ser palavras de dados de computador, em que a primeira operação de combinação é exclusiva ou e a segunda é a conjunção lógica. Os teoremas da álgebra abstrata são poderosos porque são gerais; eles governam muitos sistemas.Pode-se imaginar que pouco poderia ser concluído sobre objetos definidos com tão poucas propriedades, mas precisamente ali estava o dom de Noether para descobrir o máximo que poderia ser concluído a partir de um dado conjunto de propriedades ou, inversamente, para identificar o conjunto mínimo, as propriedades essenciais responsável por uma observação particular. Ao contrário da maioria dos matemáticos, ela não fazia abstrações generalizando a partir de exemplos conhecidos; em vez disso, ela trabalhou diretamente com as abstrações. Em seu obituário de Noether, sua aluna van der Waerden lembrou que

A máxima pela qual Emmy Noether foi guiada ao longo de seu trabalho pode ser formulada da seguinte maneira: " Qualquer relação entre números, funções e operações torna-se transparente, geralmente aplicável e totalmente produtiva somente depois de terem sido isoladas de seus objetos particulares e formulada como conceitos universalmente válidos " .

Este é o Mathematik ( matemática puramente conceitual) que era característico de Noether. Este estilo de matemática foi consequentemente adotado por outros matemáticos, especialmente no (então novo) campo da álgebra abstrata.

Exemplo: inteiros como um anel

Os inteiros formam um anel comutativo cujos elementos são os inteiros, e as operações de combinação são adição e multiplicação. Qualquer par de inteiros pode ser adicionado ou multiplicado, sempre resultando em outro inteiro, e a primeira operação, adição, é comutativa, ou seja, para quaisquer elementos a e b no anel, a + b = b + a . A segunda operação, multiplicação, também é comutativa, mas isso não precisa ser verdadeiro para outros anéis, significando que umcombinado com b pode ser diferente de b combinado com a . Exemplos de anéis não comutativos incluem matrizes e quaterniões. Os inteiros não formam um anel de divisão, porque a segunda operação nem sempre pode ser invertida; não existe um inteiro tal que 3 × a = 1.

Os inteiros têm propriedades adicionais que não generalizam para todos os anéis comutativos. Um exemplo importante é o teorema fundamental da aritmética, que diz que todo inteiro positivo pode ser fatorado exclusivamente em números primos. Fatorizações únicas nem sempre existem em outros anéis, mas Noether encontrou um teorema de fatoração único, agora chamado de teorema de Lasker-Noether , para os ideais de muitos anéis. Grande parte do trabalho de Noether estava na determinação de quais propriedades são válidas para todos os anéis, na criação de novos análogos dos antigos teoremas inteiros e na determinação do conjunto mínimo de suposições necessárias para produzir certas propriedades dos anéis.

Primeira época (1908-1919): teoria invariante algébrica

Tabela 2 da dissertação de Noether sobre teoria invariante. Esta tabela recolhe 202 dos 331 invariantes das formas ternárias biquadráticas. Esses formulários são classificados em duas variáveis xe u . A direção horizontal da tabela lista as invariantes com notas crescentes em x , enquanto a direção vertical as lista com notas crescentes em u .

Grande parte do trabalho de Noether na primeira época de sua carreira foi associada à teoria invariante, principalmente à teoria invariante algébrica. A teoria invariante diz respeito a expressões que permanecem constantes (invariantes) sob um grupo de transformações. Como um exemplo do dia a dia, se uma régua rígida é girada, as coordenadas ( x 1 , y 1 , z 1) e ( x 2 , y 2 , z 2 ) de seus pontos finais mudam, mas seu comprimento L é dado pela fórmula L = Δ x + Δ y + Δ zpermanece o mesmo. A teoria dos invariantes era uma área ativa de pesquisa no final do século XIX, motivada em parte pelo programa Erlangen de Felix Klein, segundo o qual diferentes tipos de geometria deveriam ser caracterizados por seus invariantes sob transformações, por exemplo, a relação cruzada da geometria projetiva.

Um exemplo de uma invariante é o discriminante B - 4 A C de uma forma quadrática binária x • A x + y • B x + y • C y , onde x e y são vetores e “ • ” é o produto de ponto ou “interno” produto "para os vetores. A, B e C são operadores lineares nos vetores - tipicamente matrizes.

O discriminante é chamado de "invariante" porque não é alterado por substituições lineares x → a x + b y , y → c x + dycom determinante a d - b c = 1. Essas substituições formam o grupo linear especial SL 2 .

Pode-se pedir todos os polinômios em A, B e C que não são alterados pela ação do SL 2 ; estes são chamados de invariantes de formas quadráticas binárias e acabam sendo os polinômios no discriminante.

De maneira mais geral, pode-se solicitar as invariantes de polinômios homogêneos A x + y + ... + A rx y de grau mais alto, que serão certos polinômios nos coeficientes A 0 , ..., A r e, mais geralmente, ainda assim, pode-se fazer a pergunta semelhante para polinômios homogêneos em mais de duas variáveis.

Um dos principais objetivos da teoria invariante foi resolver o " problema da base finita ". A soma ou o produto de quaisquer dois invariantes é invariante, e o problema da base finita perguntou se era possível obter todos os invariantes começando com uma lista finita de invariantes, chamados geradores , e então, adicionando ou multiplicando os geradores juntos. Por exemplo, o discriminante fornece uma base finita (com um elemento) para os invariantes de formas quadráticas binárias.

O conselheiro de Noether, Paul Gordan, era conhecido como o "rei da teoria invariante", e sua principal contribuição para a matemática foi sua solução de 1870 do problema de base finita para invariantes de polinômios homogêneos em duas variáveis. Ele provou isso dando um método construtivo para encontrar todos os invariantes e seus geradores, mas não foi capaz de realizar essa abordagem construtiva para invariantes em três ou mais variáveis. Em 1890, David Hilbert provou uma afirmação similar para os invariantes de polinômios homogêneos em qualquer número de variáveis. Além disso, seu método funcionou não apenas para o grupo linear especial, mas também para alguns de seus subgrupos, como o grupo ortogonal especial.

Primeira época (1908-1919): teoria de Galois

A teoria de Galois diz respeito a transformações de campos numéricos que permutam as raízes de uma equação. Considere uma equação polinomial de uma variável x de grau n , na qual os coeficientes são extraídos de algum campo de terra, que pode ser, por exemplo, o campo de números reais, números racionais ou os inteiros módulo 7. Pode haver ou não seja escolhas de x , que fazem este polinômio avaliar a zero. Tais escolhas, se existirem, são chamadas de raízes. Se o polinômio é x + 1 e o campo é os números reais, então o polinômio não tem raízes, porque qualquer escolha de x torna o polinômio maior ou igual a um. Se o campo é estendido, entretanto, o polinômio pode ganhar raízes, e se ele for estendido o suficiente, então ele sempre terá um número de raízes igual ao seu grau.

Continuando o exemplo anterior, se o campo é ampliado para os números complexos, então o polinômio ganha duas raízes, + i e - i , onde i é a unidade imaginária, isto é, i = −1. Mais geralmente, o campo de extensão no qual um polinômio pode ser fatorado em suas raízes é conhecido como o campo de divisão do polinômio.

O grupo de Galois de um polinômio é o conjunto de todas as transformações do campo de divisão que preservam o campo de terra e as raízes do polinômio. (No jargão matemático, essas transformações são chamadas automorfismos.) O grupo de Galois de x + 1 consiste em dois elementos: A transformação de identidade, que envia todo número complexo para si, e conjugação complexa, que envia + i para - i . Como o grupo de Galois não altera o campo de terra, ele deixa inalterados os coeficientes do polinômio, portanto, ele deve deixar o conjunto de todas as raízes inalteradas. Cada raiz pode mover-se para outra raiz, portanto, a transformação determina uma permutação das n raízes entre si. A significância do grupo de Galois deriva do teorema fundamental da teoria de Galois, que prova que os campos situados entre o campo de terra e o campo de divisão estão em correspondência um-para-um com os subgrupos do grupo de Galois.

Em 1918, Noether publicou um artigo sobre o problema inverso de Galois. Em vez de determinar o grupo de transformações de Galois de um dado campo e sua extensão, Noether perguntou se, dado um campo e um grupo, sempre é possível encontrar uma extensão do campo que tem o grupo dado como seu grupo Galois. Ela reduziu isso ao "problema de Noether", que pergunta se o campo fixo de um subgrupo G do grupo de permutação S n atuando no campo k ( x 1 , ..., x n ) sempre é uma pura extensão transcendental do campo. k . (Ela mencionou esse problema pela primeira vez em um artigo de 1913, onde atribuiu o problema a sua colega Fischer.) Ela mostrou que isso era verdade para n = 2, 3 ou 4. Em 1969, RG Swan encontrou um contra-exemplo para o problema de Noether. , com n = 47 e G um grupo cíclico de ordem 47 (embora este grupo possa ser realizado como um grupo de Galois sobre os racionais de outras maneiras). O problema inverso de Galois permanece sem solução.

Primeira época (1908-1919): Física

Noether foi levado a Göttingen em 1915 por David Hilbert e Felix Klein, que queriam sua experiência em teoria invariante para ajudá-los a entender a relatividade geral, uma teoria geométrica da gravitação desenvolvida principalmente por Albert Einstein. Hilbert havia observado que a conservação da energia parecia ser violada na relatividade geral, porque a energia gravitacional poderia gravitar por si mesma. Noether forneceu a resolução desse paradoxo, e uma ferramenta fundamental da física teórica moderna, com o primeiro teorema de Noether, que ela provou em 1915, mas não publicou até 1918. Ela não apenas resolveu o problema da relatividade geral, mas também determinou o conservado. quantidades para cada sistema de leis físicas que possui alguma simetria contínua. Ao receber seu trabalho, Einstein escreveu para Hilbert:

Ontem recebi da Miss Noether um artigo muito interessante sobre invariantes.Estou impressionado que tais coisas possam ser entendidas de maneira geral. A velha guarda em Göttingen deveria tirar algumas lições da senhorita Noether! Ela parece conhecer as coisas dela.

Por exemplo, se um sistema físico se comporta da mesma maneira, independentemente de como ele é orientado no espaço, as leis físicas que o governam são rotacionalmente simétricas; desta simetria, o teorema de Noether mostra que o momento angular do sistema deve ser conservado. O próprio sistema físico não precisa ser simétrico; um asteróide irregular caindo no espaço conserva o momento angular apesar de sua assimetria. Em vez disso, a simetria das leis físicas que regem o sistema é responsável pela lei de conservação. Como outro exemplo, se um experimento físico tiver o mesmo resultado em qualquer lugar e a qualquer momento, então suas leis são simétricas sob traduções contínuas no espaço e no tempo; Pelo teorema de Noether, essas simetrias são responsáveis ​​pelas leis de conservação do momento linear e energia dentro deste sistema, respectivamente.

O teorema de Noether tornou-se uma ferramenta fundamental da física teórica moderna, tanto por causa do insight que dá às leis de conservação, quanto também como uma ferramenta prática de cálculo. Seu teorema permite que os pesquisadores determinem as quantidades conservadas das simetrias observadas de um sistema físico. Por outro lado, facilita a descrição de um sistema físico baseado em classes de leis físicas hipotéticas. Por exemplo, suponha que um novo fenômeno físico seja descoberto. O teorema de Noether fornece um teste para modelos teóricos do fenômeno:

Se a teoria tem uma simetria contínua, então o teorema de Noether garante que a teoria tem uma quantidade conservada, e para que a teoria seja correta, essa conservação deve ser observável em experimentos.

Segunda época (1920-1926): condições da cadeia ascendente e descendente

Nessa época, Noether tornou-se famoso por seu uso hábil das condições da cadeia ascendente ( Teilerkettensatz ) ou descendente ( Vielfachenkettensatz ). Uma seqüência de subconjuntos não vazios A 1 , A 2 , A 3 , etc. de um conjunto S geralmente é dita ascendente , se cada um for um subconjunto do próximo conjunto.

$$ 

Por outro lado, uma seqüência de subconjuntos de S é chamada descendente se cada um contiver o próximo subconjunto:

$$ 

Uma cadeia se torna constante após um número finito de etapas se houver um n tal que $$ para todos m ≥ n . Uma coleção de subconjuntos de um determinado conjunto satisfaz a condição de cadeia ascendente se qualquer sequência ascendente se tornar constante após um número finito de etapas. Ele satisfaz a condição da cadeia descendente se qualquer sequência descendente se tornar constante após um número finito de etapas.

As condições da cadeia ascendente e descendente são gerais, o que significa que elas podem ser aplicadas a muitos tipos de objetos matemáticos - e, na superfície, podem não parecer muito poderosas. Noether mostrou como explorar essas condições, no entanto, para o máximo de vantagem.

Por exemplo: Como usar condições da cadeia para mostrar que cada conjunto de sub-objetos tem um elemento máximo / mínimo ou que um objeto complexo pode ser gerado por um número menor de elementos. Estas conclusões são frequentemente etapas cruciais em uma prova.

A condição da cadeia geralmente é "herdada" por sub-objetos. Por exemplo, todos os subespaços de um espaço noetheriano são eles mesmos noetherianos; todos os subgrupos e grupos de quocientes de um grupo noetheriano são, do mesmo modo, noetherianos; e, mutatis mutandis , o mesmo vale para submódulos e módulos de quociente de um módulo noetheriano. Todos os anéis quocientes de um anel Noetheriano são Noetherianos, mas isso não necessariamente se sustenta por seus submarinos. A condição da cadeia também pode ser herdada por combinações ou extensões de um objeto noetheriano. Por exemplo, somas finitas diretas de anéis Noetherianos são Noetherianas, assim como o anel de uma série formal de poder sobre um anel Noetheriano.

Outra aplicação dessas condições de cadeia é a indução noetheriana - também conhecida como indução bem fundamentada - que é uma generalização da indução matemática. Ele é freqüentemente usado para reduzir instruções gerais sobre coleções de objetos para instruções sobre objetos específicos nessa coleção. Suponha que S seja um conjunto parcialmente ordenado.Uma forma de provar uma afirmação sobre os objetos de S é assumir a existência de um contra-exemplo e deduzir uma contradição, provando assim o contrapositivo da afirmação original. A premissa básica da indução noetheriana é que todo subconjunto não vazio de S contém um elemento mínimo. Em particular, o conjunto de todos os contraexemplos contém um elemento mínimo, o contra-exemplo mínimo . A fim de provar a afirmação original, portanto, basta provar algo aparentemente muito mais fraco: para qualquer contra-exemplo, há um contra-exemplo menor.

Segunda época (1920-1926): anéis, ideais e módulos comutativos

O artigo de Noether, Idealtheorie in Ringbereichen ( Teoria dos Ideais nos Domínios dos Anéis , 1921), é a base da teoria geral do anel comutativo e dá uma das primeiras definições gerais de um anel comutativo. Antes de seu artigo, a maioria dos resultados em álgebra comutativa restringia-se a exemplos especiais de anéis comutativos, como anéis polinomiais sobre campos ou anéis de inteiros algébricos. Noether provou que em um anel que satisfaz a condição de cadeia ascendente nos ideais, todo ideal é finitamente gerado. Em 1943, o matemático francês Claude Chevalley cunhou o termo, anel Noetherian , para descrever essa propriedade. Um resultado importante no artigo de Noether de 1921 é o teorema de Lasker-Noether , que amplia o teorema de Lasker sobre a decomposição primária dos ideais de anéis polinomiais em todos os anéis noetherianos. O teorema de Lasker-Noether pode ser visto como uma generalização do teorema fundamental da aritmética, que afirma que qualquer inteiro positivo pode ser expresso como um produto de números primos, e que essa decomposição é única.

O trabalho de Noether Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern ( Estrutura abstrata da teoria dos ideais em número algébrico e campos funcionais , 1927) caracterizou os anéis nos quais os ideais têm fatoração única em ideais primos como os domínios de Dedekind: domínios integrais que são Noetherian, 0 ou 1 dimensional e integralmente fechados em seus campos de quociente. Este artigo também contém o que agora são chamados de teoremas do isomorfismo, que descrevem alguns isomorfismos naturais fundamentais e alguns outros resultados básicos nos módulos Noetherianos e Artinianos.

Segunda época (1920-1926): teoria da eliminação

Em 1923-1924, Noether aplicou sua teoria ideal à teoria da eliminação em uma formulação que ela atribuiu a seu aluno, Kurt Hentzelt. Ela mostrou que os teoremas fundamentais sobre a fatoração de polinômios poderiam ser transportados diretamente. Tradicionalmente, a teoria da eliminação preocupa-se em eliminar uma ou mais variáveis ​​de um sistema de equações polinomiais, geralmente pelo método das resultantes.

Para ilustração, um sistema de equações freqüentemente pode ser escrito na forma M v = 0 onde uma matriz (ou transformada linear) M (sem a variável x ) vezes um vetor v (que tem somente potências não nulas de x ) é igual para o vetor zero, 0 . Assim, o determinante da matriz M deve ser zero, fornecendo uma nova equação na qual a variável x foi eliminada.

Segunda época (1920-1926): teoria invariante de grupos finitos

Técnicas como a solução não construtiva original de Hilbert para o problema da base finita não poderiam ser usadas para obter informações quantitativas sobre os invariantes de uma ação grupal e, além disso, elas não se aplicavam a todas as ações do grupo. Em seu artigo de 1915, Noether encontrou uma solução para o problema de base finita para um grupo finito de transformações Gatuando em um espaço vetorial de dimensão finita sobre um campo de característico zero. Sua solução mostra que o anel de invariantes é gerado por invariantes homogêneos cujo grau é menor ou igual à ordem do grupo finito; isso é chamado de Noether . Seu trabalho deu duas provas de Noether, ambas as quais também funcionam quando a característica do campo é coprime para | G |!(o fatorial da ordem | G | do grupo G ). Os graus de geradores não precisam satisfazer o limite de Noether quando a característica do campo divide o número | G |, mas Noether não foi capaz de determinar se este limite estava correto quando a característica do campo divide | G |! mas não | G |Por muitos anos, determinar a verdade ou a falsidade desta ligação para este caso em particular foi um problema em aberto, chamado "gap de Noether". Foi finalmente resolvido de forma independente por Fleischmann em 2000 e Fogarty em 2001, que ambos mostraram que o limite permanece verdadeiro.

Em seu artigo de 1926, Noether estendeu o teorema de Hilbert às representações de um grupo finito sobre qualquer campo; o novo caso que não decorreu do trabalho de Hilbert é quando a característica do campo divide a ordem do grupo. O resultado de Noether foi posteriormente estendido por William Haboush a todos os grupos redutivos por sua prova da conjectura de Mumford. Neste trabalho, Noether também introduziu o lema de normalização Noether , mostrando que um domínio finitamente gerado A sobre um campo k possui um conjunto { x 1 , ..., xn } de elementos algebricamente independentes tais que A é integral sobre k [ x 1 , ..., xn ].

Segunda época (1920-1926): contribuições para a topologia

Uma deformação contínua (homotopia) de uma xícara de café em um donut (toro) e de volta

Como notado por Pavel Alexandrov e Hermann Weyl em seus obituários, as contribuições de Noether para a topologia ilustram sua generosidade com idéias e como suas descobertas poderiam transformar campos inteiros de matemática. Na topologia, os matemáticos estudam as propriedades de objetos que permanecem invariantes mesmo sob deformação, propriedades tais como sua conectividade.Uma velha piada é que " um topologista não consegue distinguir um donut de uma caneca de café ", uma vez que eles podem ser continuamente deformados um no outro.

Noether é creditado com idéias fundamentais que levaram ao desenvolvimento da topologia algébrica da topologia combinatória anterior, especificamente, a idéia de grupos de homologia. De acordo com o relato de Alexandrov, Noether assistiu a palestras dadas por Heinz Hopf e por ele nos verões de 1926 e 1927, onde "ela continuamente fazia observações que eram muitas vezes profundas e sutis" e ele continua dizendo:

Quando ... ela se familiarizou pela primeira vez com uma construção sistemática da topologia combinatória, ela imediatamente observou que valeria a pena estudar diretamente os grupos de complexos algébricos e ciclos de um determinado poliedro e o subgrupo do grupo de ciclos consistindo de ciclos homólogos a zero; em vez da definição usual dos números de Betti, ela sugeriu definir imediatamente o grupo Betti como grupo complementar (quociente) do grupo de todos os ciclos pelo subgrupo de ciclos homólogos a zero. Essa observação agora parece evidente. Mas naqueles anos (1925-1928) este era um ponto de vista completamente novo.

A sugestão de Noether de que a topologia seja estudada algebricamente foi adotada imediatamente por Hopf, Alexandrov e outros, e tornou-se um tema freqüente de discussão entre os matemáticos de Göttingen. Noether observou que sua ideia de um grupo Betti torna a fórmula de Euler-Poincaré mais simples de entender, e o próprio trabalho de Hopf sobre esse assunto "tem a marca dessas observações de Emmy Noether". Noether menciona suas próprias idéias de topologia apenas como um aparte em uma publicação de 1926, onde ela cita isso como uma aplicação da teoria de grupos.

Essa abordagem algébrica da topologia também foi desenvolvida independentemente na Áustria.Em um curso de 1926-1927 dado em Viena, Leopold Vietoris definiu um grupo de homologia, desenvolvido por Walther Mayer, em uma definição axiomática em 1928.

Helmut Hasse trabalhou com Noether e outros para fundar a teoria das álgebras simples centrais.

Terceira época (1927-1935): números hipercomplexos e teoria de representação

Muito trabalho sobre números hipercomplexos e representações de grupo foi realizado no século XIX e início do século XX, mas permaneceu desigual. Noether uniu estes resultados e deu a primeira teoria de representação geral de grupos e álgebras.

Resumidamente, Noether subsumiu a teoria da estrutura de álgebras associativas e a teoria de representação de grupos em uma única teoria aritmética de módulos e ideais em anéis, satisfazendo as condições da cadeia ascendente. Este único trabalho de Noether foi de fundamental importância para o desenvolvimento da álgebra moderna.

Terceira época (1927-1935): álgebra não comutativa

Noether também foi responsável por vários outros avanços no campo da álgebra. Com Emil Artin, Richard Brauer e Helmut Hasse, ela fundou a teoria das álgebras simples centrais.

Um artigo de Noether, Helmut Hasse e Richard Brauer refere-se a álgebras de divisão, que são sistemas algébricos nos quais a divisão é possível. Eles provaram dois teoremas importantes: um teorema local-global afirmando que se uma álgebra de divisão central de dimensão finita sobre um campo numérico se divide localmente em todos os lugares, então se divide globalmente (então é trivial) e deduziu seu Hauptsatz ("teorema principal"). ):

cada álgebra de divisão central dimensional finita sobre um campo numérico algébrico F divide-se sobre uma extensão ciclotômica cíclica.

Estes teoremas permitem classificar todas as álgebras de divisão central de dimensão finita sobre um dado campo numérico. Um trabalho posterior de Noether mostrou, como um caso especial de um teorema mais geral, que todos os subcampos máximos de uma álgebra de divisão D estão dividindo campos. Este artigo também contém o teorema de Skolem-Noether que afirma que quaisquer dois embeddings de uma extensão de um campo k em uma álgebra simples central de dimensão finita sobre k , são conjugados. O teorema de Brauer-Noether fornece uma caracterização dos campos de divisão de uma álgebra da divisão central sobre um campo.

Avaliação, reconhecimento e memoriais

O Emmy Noether Campus da Universidade de Siegen é o lar de seus departamentos de matemática e física.

O trabalho de Noether continua a ser relevante para o desenvolvimento da física teórica e matemática e ela é consistentemente classificada como uma das maiores matemáticas do século XX. Em seu obituário, o colega algebrista BL van der Waerden diz que sua originalidade matemática era "absolutamente incomparável", e Hermann Weyl disse que Noether "mudou a face da álgebra por seu trabalho". Durante sua vida e até hoje, Noether foi caracterizada como a maior mulher matemática na história registrada por matemáticos como Pavel Alexandrov, Hermann Weyl e Jean Dieudonné.

Em uma carta ao The New York Times , Albert Einstein escreveu:

No julgamento dos matemáticos vivos mais competentes, Fräulein Noether foi o gênio matemático criativo mais significativo até agora produzido desde o início da educação superior das mulheres. No campo da álgebra, na qual os matemáticos mais talentosos estiveram ocupados durante séculos, ela descobriu métodos que se revelaram de enorme importância no desenvolvimento da geração mais jovem de matemáticos.

Em 2 de janeiro de 1935, alguns meses antes de sua morte, o matemático Norbert Wiener escreveu que

A senhorita Noether é ... a maior mulher matemática que já viveu; e a maior cientista mulher de qualquer tipo que agora vive, e uma estudiosa pelo menos no plano de Madame Curie.

Em uma exposição na Feira Mundial de 1964, dedicada aos matemáticos modernos, Noether era a única mulher representada entre os notáveis ​​matemáticos do mundo moderno.

Noether foi homenageado em vários memoriais,

• A Associação para Mulheres em Matemática realiza uma Palestra Noether para homenagear as mulheres em matemática todos os anos; em seu panfleto de 2005 para o evento, a associação caracteriza Noether como "um dos grandes matemáticos de sua época, alguém que trabalhou e lutou pelo que amava e acreditava. Sua vida e trabalho continuam sendo uma tremenda inspiração".
• Consistente com sua dedicação aos seus alunos, a Universidade de Siegen abriga seus departamentos de matemática e física em edifícios no Emmy Noether Campus .
• The German Research Foundation (Deutsche Forschungsgemeinschaft) operates the Emmy Noether Programme , providing funding to early-career researchers to rapidly qualify for a leading position in science and research by leading an independent junior research group.
• A street in her hometown, Erlangen, has been named after Emmy Noether and her father, Max Noether.
• The successor to the secondary school she attended in Erlangen has been renamed as the Emmy Noether School .
• A series of high school workshops and competitions are held in her honor in May of each year since 2001, originally hosted by a subsequent woman mathematics Privatdozent of the University of Göttingen.
• Perimeter Institute for Theoretical Physics annually awards Emmy Noether Visiting Fellowships to outstanding female theoretical physicists. Perimeter Institute is also home to the Emmy Noether Council, a group of volunteers made up of international community, corporate and philanthropic leaders work together to increase the number of women in physics and mathematical physics at Perimeter Institute.
• O Emmy Noether Mathematics Institute em Álgebra, Geometria e Teoria das Funções no Departamento de Matemática e Ciência da Computação, Universidade Bar-Ilan, em Ramat Gan, Israel foi fundado em 1992 pela universidade, o governo alemão e a Fundação Minerva com o objetivo de estimular a pesquisa nos campos acima e incentivar as colaborações com a Alemanha. Seus principais tópicos são Geometria Algébrica, Teoria dos Grupos e Teoria das Funções Complexas. Suas atividades incluem projetos de pesquisa locais, conferências, visitantes de curto prazo, bolsas de pós-doutorado e as palestras do Emmy Noether (uma série anual de palestras ilustres). A ENI é membro da ERCOM: "Centros Europeus de Investigação em Matemática".

Na ficção, Emmy Nutter, o professor de física em "The God Patent", de Ransom Stephens, é baseado em Emmy Noether.

Mais longe de casa,

• A cratera de Nöther, do outro lado da Lua, recebeu seu nome.
• O menor planeta 7001 Noether é nomeado para Emmy Noether.
• O Google colocou um doodle memorial na página inicial do Google em muitos países em 23 de março de 2015 para comemorar o aniversário de 133 anos de Emmy Noether.

Retirado de: Emmy_Noether